Thema "näherung einer ellipse mit kreisbögen" in Programmierung

näherung einer ellipse mit kreisbögen

zzyzx — Tue, 28 Sep 2004 12:01:00 GMT

eine ellipse kann man ja sehr einfach durch strecken eines kreises in nur eine richtung erhalten.
punkte auf einer ellipse erhält man auch ziemlich einfach mit sinus/cosinus
wenn man aber die ellipse aber in gdl als näherung aus kreisbögen haben will, wirds schwerer. kennt jemand vielleicht einen einfachen weg mittels erweiterter statuswerte oder so?

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

Anonymous — Tue, 28 Sep 2004 13:29:00 GMT

Bin mir nicht sicher, aber über Statuswerte wüsste ich keine schnelle Lösung.

Ich glaube der Ansatz müsste über die Koordinatengeometrie erfolgen.

Kreisformel: R** = x**+y**
daraus ergibt sich: y = SQR (R**-x**) oder y = R+COS(winkel)
dann mit MUL y zur Ellipse dehnen

aber bitte frag mich nicht weiter, es ist schon lange her dass ich da mal so richtig durch war.

Im GDL Kochbuch sind auf Seite 2.41 und 2.42 längere mathematische Abhandlungen über Bogenformen zu finden.

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

Anonymous — Tue, 28 Sep 2004 13:33:00 GMT

y = R*COS(winkel)

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

zzyzx — Tue, 28 Sep 2004 13:49:00 GMT

... nun ja, ich hab mir da gedacht, es gibt vielleicht eine einfache lösung, um aus der ellipse eine näherungsform mit kreisbögen zu machen, und zwar so, wie wenn man eine ellipse zeichnet, dann den zauberstab anlegt und eine schraffur erzeugt. die schraffur kennt ja keine ellipsenlinie als begrenzung sondern nur kreisbogen und gerade, deshalb macht archicad eben die näherung.
es scheint aber doch dafür etwas rechenarbeit nötig zu sein
:verzweifelt:

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

zzyzx — Tue, 28 Sep 2004 14:05:00 GMT

... dann halt doch so (mit ohne kreisbogen 😉 )
<blockquote>Code:<hr /><pre style="font-size:x-small; font-family: monospace;">n = 30

for i = 1 to n
w = i*360/n
put a/2*cos(w)
put b/2*sin(w)
put 79
next i

prism_ n,0.1,
get (n*3)

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

Anonymous — Wed, 29 Sep 2004 07:03:00 GMT

http://www.a-null.com/ubb/ultimatebb.php?ubb=get_topic;f=6;t=000286

hab vor 1 1/2 monaten auch keine antwort drauf bekommen 😞
das einzige was ich geschafft habe war das element welches mir mit fixpunkten die ellipsenform vorgib t, welche ich dann mit splines nachziehen kann. den kurvenverlauf als linie hab ich mit keinem befehl geschafft.

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

zzyzx — Wed, 29 Sep 2004 07:46:00 GMT

ja, stimmt, damals ist mir auch nix eingefallen. wir können ja mal zusammentragen, was wir bisher an wissen haben, vielleicht bekommen wir ja eine lösung hin...
.
jetzt wirds ein bisschen mathematisch:
- punkte auf der ellipse können wir ja schonmal bestimmen (siehe oben)
- wenn wir einen kreisbogen an diesem punkt anfangen wollen, brauchen wir auch die steigung an der stelle, die haben wir jedoch noch nicht, kann man aber wahrscheinlich mit dem seitenverhältnis der ellipse und der normalen steigung in einem kreis rausbekommen. (ideen?)
- die verteilung der punkte für diese näherung mit kreisbögen ist nicht gleichmässig: man kann den an irgendeiner stelle begonnenen kreisbogen nicht irgendwo aufhören lassen, sondern nur da, wo er sich mit der ursprungsellipse trifft und auch dieselbe steigung wie diese an der stelle hat, sonst wird die fortsetzung mit einem weiteren kreisbogen nix.
... komplizierte sache. ich bin mir nicht sicher, ob der ansatz soweit was bringt...
:confused: :confused:

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

Anonymous — Wed, 29 Sep 2004 08:35:00 GMT

Na ja, die Steigung erhalte ich aus der 1. Ableitung.
Anschliessend die 1. Ableitung der Ellipsengleichung und der Kreisgleichung in ein Gleichungssystem und die Lösung suchen.
Viel Vergnügen.

Hätte noch eine Idee
Was passiert eigentlich wenn ich im Grundriss eine Ellipse zeichne und das GDL Skript von AC automatisch schreiben lasse?

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

zzyzx — Wed, 29 Sep 2004 08:56:00 GMT

<blockquote>Zitat:<hr /> Was passiert eigentlich wenn ich im Grundriss eine Ellipse zeichne und das GDL Skript von AC automatisch schreiben lasse? erwartungsgemäss das:
<blockquote>Code:<hr /><pre style="font-size:x-small; font-family: monospace;">ADD2 -29.5239, -13.9669
ROT2 0.0
MUL2 4.971619, 2.40731
CIRCLE2 0.0, 0.0, 1.0
DEL 3
aber egal, ich dachte, es gibt vielleicht eine einfache lösung, aber das mit den gleichungssystemen wird mir jetzt doch zu kompliziert...
😉 :winken:

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

Frank Beister — Wed, 29 Sep 2004 09:36:00 GMT

Das Thema Ellipse kommt immer mal wieder. Auch Andreas wollte vor einiger Zeit in regelmäßigen Abständen Profile in eine elliptische Wand zeichnen. Dadurch angeregt habe ich mal ein Objekt angefangen, das allgemeine Ellipsendaten zu frei definierbaren Ellipsen ausgeben sollte. Das Ergebnis steht im Open GDL Board zum download.. Alles noch sehr Alpha-mäßig, aber ein Anfang.

Bei der Suche nach Infos bin ich auf verschiedene Quellen gestoßen. Werde sie heute Abend mal sichten und ggf. posten. In jedem Fall bin ich sehr schnell zu dem Ergebnis gekommen, daß die Ellipse deutlich einfacher aussieht, als sie sich mathematisch beschreiben läßt. Eine immer wiederkehrende Quelle zur Lösung mathematischer Probleme ist mir die Seite von Paul Bourke. Auch zur Ellipse hat er einen Eintrag.
Die Idee mit der Ableitung ist sicher der richtige Weg, doch sieht man auf dieser website schon, daß das nicht ganz trivial wird. Vielleicht finden wir im Netz ja eine fertige Gleichung/Funktion/Relation. Im Netz verfügbare Versionen von Mathematica und anderen 'Computermathematikern' liefern allerdings, mit dieser Aufgabe betraut, heftigste Ergebnisse (Formel über 1 1/2 DIN A4 Seiten).

Ich habe auch mal als Tutorial für eine interne Schulung einen Tisch mit Bestuhlung entwickelt, bei dem die Stühle gleichmäßig um den Tisch verteilt wurden. Die Tischform war frei wälbar: rechteckig, rund, dreieckig und elliptisch. Um die Stühle orthogonal zur Tischkante auszurichten mußte ich auch die Neigung der Ellipse in einem Punkt ermitteln. Ich habe das 'iterativ' gelöst: Links und rechts eines gesuchten Punktes bestimme ich in möglichst minimalem Abstand die Koordinaten von 2 Hilfspunkten. Die Verbindung zwischen den beiden Punkten beschreibt näherungsweise die Steigung der Ellipse in diesem Punkt. Der Normalenvektor zu der Strecke bestimmt dann die Ausrichtung. Je nach Exzentrizität und Größe ergibt sich ein größerer oder kleinerer Fehler. 'A cheap trick', ich weiß.

Die Idee gemeinsam hier Wissen zusammenzutragen und allen zur Verfügung zu stellen entspricht dem Urgedanken des Open GDLboards. Wäre toll, wenn wir hier zusammenarbeiten könnten und hieraus ein allgemein gültiges Objekt entstünde.

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

Anonymous — Wed, 29 Sep 2004 10:34:00 GMT

Vielleicht noch ein Ansatz

Wenn ich mich recht erinnere haben wir im 20. Jahrhundert noch zu Zeiten ohne CAD damit gearbeitet.
Mit 2 Kreisen mit Mittelpunkt auf der y-Achse und 2 Kreisen mit Mittelpunkt auf der x-Achse wurde die Ellipse annäherungsweise gezeichnet. Die noch vorhandenen Öffnungen zwischen den Kreisen wurden mit dem Kurvenlineal angepasst.
Thema "Scheitelkrümmungskreise"
Womit vielleicht die ursprüngliche Frage des Themas
(Annäherung über Kreise) am Besten getroffen ist.

Weiters kann die Tangentenneigung auch über Dreiecke bestimmt werden. Das sollte mathematisch doch eher fassbar sein.

Siehe auch:

hier

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

Anonymous — Wed, 29 Sep 2004 10:43:00 GMT

oder ganz was einfaches:

-einen Kreis in der xy Ebene zeichnen (z.B. als prism mit Höhe 0)
-diesen dann um die x-Achse drehen
-und eine Ansicht generieren
-sollte nach meiner Meinung eine Ellipse ergeben (Kegelschnitt)
-Rechenarbeit bleibt im Computer :idee:

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

Frank Beister — Wed, 29 Sep 2004 11:05:00 GMT

@Egon.
Sehr netter Link. Gerade die Sache mit der Tangente. Vielleicht läßt sich das Problem so einfacher lösen, als durch den artithmetischen Weg. Die Idee mit dem Schnitt durch eine geneigte Säule bringt zwar eine Ellipse, aber keine Lösung des Problems, denn ...

Der Ausgangspunkt war doch eine ellipsenförmige Säule ohne Verformung des Koordinatensystems zu erhalten. Alle polygonzugbasierten GDL-Befehle lassen maximal Kreisbogensegmente zu, aber keine Splines oder Ellipsensegmente. Die Frage war, ob man mit einfachen Mitteln die Ellipse mit Bögen annähern kann. Ich denke, daß man kann. Ich habe gerade ein kleines Makro geschrieben, mit dem man aus 3 gegebenen Punkten einen Bogen ermitteln kann. So wie das AC im graphischen Modus auch anbietet. Nun muß man das ganze nur noch mit der Ellipsengleichung in eine Schleife packen. Ich überlege mir das mal ... :dozey:

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

Frank Beister — Wed, 29 Sep 2004 12:16:00 GMT

OK. Es geht so:

Ladet euch den 3-Punkte-Kreis.gsm herunter. In dem ZIP-File ist ein Objekt (.GSM) und 2 Makros (.GDL) enthalten. Bindet zumindest das Kreis3P.gdl in die aktive Bibliothek mit ein.

Dieses Makro wird vom Skript aus mit den Koordinaten von 3 Kreispunkten aufgerufen. Zurück bekommt man die 2 Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius. Übergibt man nach den 6 Koordinaten der Punkte noch eine 1, wird der Radius nicht zurückgegeben.

Unser Prisma sieht dann wie folgt aus (Neues Objekt erstellen und in 3D-Skript kopieren):
<blockquote>Code:<hr /><pre style="font-size:x-small; font-family: monospace;">! Parameter definieren oder nächste Zeile ohne "!"
!
! a=4 : b=2 : zzyzx=1

dim P[38][2] !... Punktespeicher
n=36 !... sollte eine durch 4 teilbare Zahl sein!

! Punktkoordinaten ermitteln
for i=1 to n+2
alpha=i*360/n
x=a*cos(alpha) : y=b*sin(alpha)
hotspot x,y,0
hotspot x,y,zzyzx
P[1]=x : P[2]=y
next i

! Kreisbögen ermitteln und auf den Stapelspeicher

for i=1 to 36 step 2
! 1.Punkt:
put P[1],P[2],15+64

! Mittelpunkt:
CALL "Kreis3P" P[1],P[2], P[i+1][1],P[i+1][2], P[i+2][1],P[i+2][2], 1
put 900+15+64

! 3.Punkt:
put P[i+2][1],P[i+2][2],3000+15+64

next i

! Prisma zeichnen

prism_ nsp/3,zzyzx,get(nsp)Die Genauigkeit hängt natürlich von der Anzahl der gewählten Segmente (hier: 36 Punkte=18 Segmente) und der Einstellungen unter 'Zauberstabeinstellungen' ab. So weit ich das bis jetzt beurteilen kann ist die Kurve an den Punkten nicht stetig. D.h. daß sie geringe Knicke hat, weil die Kreissegmente nach Punkten und nicht nach Randtangenten bestimmt wurde. Wie gering aber der Fehler ist, kann man in folgendem 2D-Skript sehen:
<blockquote>Code:<hr /><pre style="font-size:x-small; font-family: monospace;">! Parameter definieren oder nächste Zeile ohne "!"
!
! a=4 : b=2 : zzyzx=1

! Gestauchte Ellipse als Referenz

mul2 1,B/A
circle2 0,0,A
del 1

! Approximation

pen 7

dim P[38][2]
n=36
for i=1 to n+2
alpha=i*360/n
x=a*cos(alpha) : y=b*sin(alpha)
hotspot2 x,y
P[1]=x : P[2]=y
next i

for i=1 to 36 step 2
CALL "Kreis3P" P[1],P[2], P[i+1][1],P[i+1][2], P[i+2][1],P[i+2][2], 1
poly2_ 3,1,
P[1],P[2],1,
get(2),901,
P[i+2][1],P[i+2][2],3001
next iEchte und Kreisbogenellipse liegen übereinander. Die Abweichung ist gering.

[ 29. September 2004, 14:19: Beitrag editiert von: Frank Beister ]

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

Anonymous — Wed, 29 Sep 2004 12:26:00 GMT

nicht von schlechten Eltern

ist aber schon sehr hohe GDL Schule :yeah:

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

Frank Beister — Wed, 29 Sep 2004 12:47:00 GMT

Unter Bogenellipse.zip liegt das komplette Objekt als Demo mit einstellbaren Parametern. Erweiterungen und Anwendungen sind willkommen. Nochmal als Hinweis: Wer den Code 1:1 verwendet sollte die Ergebnisse auch wieder öffentlich zugänglich machen. Das Prinzip des Open Source. 😉

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

zzyzx — Wed, 29 Sep 2004 14:07:00 GMT

clevere sache; hab gar nicht gewusst dass man den stackspeicher (oder wie immer das ding auch heissen mag) über ein makroskript füllen kann.
aber trotz aller begeisterung bin ich immer noch am grübeln, wie man es ohne die knicke an den ecken hinbekommen könnte (klar, die abweichung ist minimal, aber wenn ich es mit linien mache und 100 punkte nehme, ist die abweichung auch gering und dennoch haben wir ne weitere lösung gesucht). aber bis die "stetige" lösung gefunden ist, bleibt frank natürlich gdl-könig :winken:

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

zzyzx — Thu, 30 Sep 2004 06:39:00 GMT

so, hab mir das problem heut nacht :dozey: nochmal durch den kopf gehen lassen (ohne stift und papier und auch ohne computer). hab mir dann gedacht: mal sehen, wie archicad das eigentlich hinbekommt, dass die kurve stetig ist ...
also hab ich grad mal so eine ellipse gezeichnet und mit dem zauberstab eine schraffur draus gemacht, die bögen mit dem jeweiligen mittelpunkt verbunden und sieheda: die annäherung von archicad ist auch nicht stetig (!!!), das wäre dann der fall, wenn die linie durch den berührungspunkt zweier benachbarter kreisbögen und durch die jeweiligen kreisbogenmittelpunkte eine gerade wäre; das ist aber nicht so.
eine lösung steht also noch aus...
:verzweifelt:

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

Frank Beister — Thu, 30 Sep 2004 06:45:00 GMT

🙂 🙂 🙂
Hat mich gestern auch noch umgetrieben. 😉

[ 30. September 2004, 08:47: Beitrag editiert von: Frank Beister ]

Re: näherung einer ellipse mit kreisbögen

Frank Beister — Thu, 30 Sep 2004 07:03:00 GMT

<blockquote>Zitat:<hr />die annäherung von archicad ist auch nicht stetigIch habe das gerade mal nachvollzogen und bin ziemlich platt. Auf den ersten Blick und mit maximalem Zoom sieht man keinen Knick. Ich vermutete schon, daß du vielleicht der 2D-OpenGL-Darstellung von AC 8.1 erlegen bist (die ist gerade im 'tiefen' Zoom manchmal sehr eckig), doch du hast recht!
Stellt sich die Frage warum GS das nicht als stetige Kurve berechnet. Ich vermute erstmal nicht Unwissenheit, sondern eher, daß das exakte nicht immer das optimale ist. Wir werden ja vergleichen können, wenn wir ein ellipsenartiges stetige Kreisbogen'polygon' haben. *optimist* 😉

[ 30. September 2004, 09:04: Beitrag editiert von: Frank Beister ]